RSS

Matematyka Przykłady nierówności

Patrzysz na posty wyszukane dla zapytania: Matematyka Przykłady nierówności






Temat: Zadania na egzaminy wstępne na UJ.


Witam

Przymierzam się do zdawania egzaminów wstępnych na UJ na informatykę
i mam dosyć konkretne problemy z rozwiązaniem zadań egzaminacyjnych
z matematyki. Dla przykładu:

Niech p(a) oznacza liczbę różnyc, rzeczywistych pierwiastków równania
 Â       x^3-3*2^(a-1)*x+3*2^a=8
Narysuj wykres {(a) dla a należącego do R.


to jest banalne od razu widac podtsatwienie t=2^a


albo

Niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi że x=y.
Wykazać, że zachodzi nierówność x^4+y^4=2xy^3.


dielisz  przez y^4 i wnioskujesz w oparciu o podany warunek.


Gdzie mógłbym znaleźć podobne zadania wraz z rozwiązaniami?
(książki, internet?). Interesują mnie szczególnie metody rozwiązywania
takich zadań.
Dodam że jestem na fakultecie ogólnym (nie mat-fiz).


Wojciech Żakowski analiza i algebra dla licealistow(ni wiem czy sa takie
przyklady ale jesli juz masz sie uczyc to nie ma sensu tracic czasu na czytanie
tzw podrecznikow dla liceow tylko tego)
Ale oleju w glowie nic nie zastapi.

3maj sie
rafal


Z góry dziękuję za odpowiedź

Pozdrawiam

Marcin Lewandowski


--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl





Temat: arctg
Niech arctg(x) = a i arctg(y) = b, gdzie a, b - wartości kątów, takich, że
x=tg(a) i y=tg(b). Wobec tego
tg(a + b) = [tg(a) + tg(b)]/(1 - tg(a)tg(b)) = (x + y)/(1 - xy).
Traktując obie strony powyższej nierówności arctg(), mamy
a + b = arctg((x + y)/(1 - xy)), czyli
arctg(x) + arctg(y) = arctg((x + y)/(1 - xy))
i ten wynik podaje większość tablic matematycznych, na przykład "Tablice
Matematyczne" wydane przez Wydawnictwo Adamantan, Warszawa 1999.

Pozdrawiam Maciek P.


Kto pomoże ??? Jak policzyć

    arctg x + arctg y = ?

Jakieś uniwersalne przekształcenie z wykorzystaniem funkcji
trygonometrycznych, suma nie musi się składać z dwóch składników.

Darek








Temat: O demokracji


Są też inne przykłady nierówności wobec prawa:

- uzależnianie prawa do zakupu ziemi od posiadania wykształcenia rolniczego;
- zakaz wykonywania zawodu biegłego rewidenta przez osoby bez wykształcenia wyższego (notabene, to ciekawe, że aby móc stwierdzić, że bilans jest zrobiony poprawnie potrzeba wyższego wykształcenia, a prezydentem może być człowiek z maturą (obecnie) lub z wyksztąłceniem zaowdowym (poprzednio)


To chyba nie są odobre przykłady:
--motorniczym nie może być ktoś kto nie ma prawa jazdy,
--nauczyciel matematyki musi być po studiach,
--prokurator umieć czytać ....



Temat: Zadania na egzaminy wstępne na UJ.
Witam

Przymierzam się do zdawania egzaminów wstępnych na UJ na informatykę
i mam dosyć konkretne problemy z rozwiązaniem zadań egzaminacyjnych
z matematyki. Dla przykładu:

Niech p(a) oznacza liczbę różnyc, rzeczywistych pierwiastków równania
        x^3-3*2^(a-1)*x+3*2^a=8
Narysuj wykres {(a) dla a należącego do R.

albo

Niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi że x=y.
Wykazać, że zachodzi nierówność x^4+y^4=2xy^3.

Gdzie mógłbym znaleźć podobne zadania wraz z rozwiązaniami?
(książki, internet?). Interesują mnie szczególnie metody rozwiązywania
takich zadań.
Dodam że jestem na fakultecie ogólnym (nie mat-fiz).

Z góry dziękuję za odpowiedź

Pozdrawiam

Marcin Lewandowski





Temat: POMIwE


1.Ciągi i szeregi liczbowe. Elementy matematyki finansowej.
2.Funkcje jednej zmiennej. Przykłady funkcji stosowanych w badaniach ekonomicznych.
3.Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. Ekonomiczne interpretacje pochodnej. Ekstrema lokalne funkcji – zastosowania.
4.Elementy rachunku całkowego. Przykłady zastosowań całki oznaczonej w ekonomii.
5.Funkcje wielu zmiennych – podstawowe pojęcia, własności. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne, ekstremum warunkowe. Ekonomiczne zastosowania pochodnych cząstkowych.
6.Elementy równań różniczkowych zwyczajnych. Przykłady zastosowań w ekonomii.
7.Elementy algebry liniowej – algebra macierzy, wyznaczniki. Wybrane metody rozwiązywania układów równań liniowych.
8.Układy równań i nierówności liniowych – przykłady zastosowań do rozwiązywania zagadnień ekonomicznych.

oto sylabus, temat pogrubiony na pewno odpada, wiec mniemam, ze 8 punkt tez powinien odpasc

ze statystyki obowiazuja tematy 1,2,3,5,11 z zoltej ksiazki



Temat: Jak rozwiazac zadania na indukcje matematyczna?
indukcja matematyczna mowi ze zdanie jest prawdziwe jesli jest
prawdziwe dla pierwszego wyrazu z ciago oraz dla wyrazu n i n+1
w Twoich zadaniach (zakladajac ze n to liczba naturalna) nalezy
sprawdzic prawdziwosc dla n=0/n=1 oraz na liczbach ogolnych
dla n i n+1

Piotr


Witam,

Czy ktos z was moglby mi wytlumaczyc na przykladach na czym dokladnie
polega zasada indukcji matematycznej? I jeszcze jak rozwiazac takie
zadania:

1. Wykaz, ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwe sa
nierownosci:

a)  2 + 3^n   2^n + 1

b) 1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(n^2)  =< 2 - 1/n

c) 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+1) 1

2. Dla jakich naturalnych n prawdziwe sa podane nierownosci? Sformuluj
hipoteze i udowodnij ja stosujac zasade indukcji:

a) 2^n 2n

b) 2^n 2n + 1

c) 2^n n^2

d) 2^n n^3

e) (1-1/4) * (1-1/9) * (1-1/16) * ... * [1-1/(n^2)] = (n+1)/(2n)

f) 2^n 5n

Mam nadzieje, ze rozczytacie sie z tych ulamkow ;) Te dwa zadania
pochodza ze "Zbioru zadan z matematyki dla klasy I i II liceum
ogolnoksztalcacego" - autorzy: Norbert Drobka i Karol Szymanski,
zadania nr 11.3 i 11.4 str. 147.

Zaraz po wakacjach praca klasowa z ciagow, a ja nic nie rozumiem.
Dzieki za pomoc!

Hubert Karbowy


  piotrus.vcf
< 1K Pobierz





Temat: Temat o wszystkim...
Oczywiście,że w historii potrzebne jest logiczne myślenie,historia to mnóstwo zależności,ktore najlepiej zrozumieć i mieć ciągłość.Niekoniecznie jednak,chodzi o to samo logiczne myślenie,co w matematyce.Człowiekowi patrzącemu na tablice z ciągiem cyfr i znaków mogą sie nogi ugiąc.Mam nadzieje niebawem zakończyć przygodę z matematyką,poza poziomem potrzebnym do normalnego życia,by mnie baba w sklepie nie wychujała z resztą itp,jednak stwierdzam na przykladzie liceum,że większość zadań matematycznych,rozwiązuję na podstawie schematu ktory zapamietac moge na pamięć(wszystkie te wielomiany,nierownosci itp)



Temat: Matura 2008
http://cke.edu.pl/index.p...id=513&Itemid=2


Egzamin maturalny z matematyki – poziom rozszerzony:

Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Wzór (a – 1)(1 + a +...+ an-1) = an -1. Indukcja matematyczna. Różnowartościowość funkcji. Funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Dwumian Newtona. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Nierówności trygonometryczne. Wzory redukcyjne. Przykłady ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie. Pojęcie granicy ciągu. Obliczanie granic ciągów. Suma szeregu geometrycznego. Pojęcie funkcji ciągłej. Pojęcie pochodnej. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej. Obliczanie pochodnych wielomianów i funkcji wymiernych. Związek pochodnej z istnieniem ekstremów i z monotonicznością funkcji. Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania problemów praktycznych. Przykłady przekształceń geometrycznych: obrót. Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych. Wielościany foremne. Rzut prostokątny na płaszczyznę. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoullego. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.




Zadania egzaminacyjne w roku 2008 nie będą sprawdzać następujących treści:


Przeciez nic nie zostanie prawie



Temat: poprawione poprzednie pierwiatek i dziedzina


sorry ale mam wrazenie ze bredzisz
?moze to tylko wrazenie

dyskusyjnych

| Wszyscy na pl.sci.matematyka czytajcie uwaznie, bo
| Clavdis pisze
| [przeredagowałem]

| Rozwiązać nierówność: sqrt(x+5)  7 - x

| dziedzina:     [-5,+inf)                TU DOBRZE

| potem podnosze obie strony do kwadratu
| ale, ale.

| Zobacz co bedzie, kiedy prawa strona jest ujemna.
| Może nierówność:       3 -5     Ci coś uzmysłowi.
| Po podniesieniu do kwadratu daje   9 25.
| Już rozumiesz?

| McCartney


madrze mowi Grzesiek!
nie jest prawda, ze jezeli a<b to a^2<b^2.
przyklad dla a=-5,b=3 jest chyba wystarczajacy.
ogolny moral: w nierownosciach bardzo uwazaj na liczby ujemne.

pozdrawiam,
malcin

ps. pisz odpowiedzi ponizej tego, co komentujesz - to oglolny standard i tak
sie latwiej czyta.





Temat: Jak rozwiazac zadania na indukcje matematyczna?
Witam,

Czy ktos z was moglby mi wytlumaczyc na przykladach na czym dokladnie
polega zasada indukcji matematycznej? I jeszcze jak rozwiazac takie
zadania:

1. Wykaz, ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwe sa
nierownosci:

a)  2 + 3^n   2^n + 1

b) 1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(n^2)  =< 2 - 1/n

c) 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+1) 1

2. Dla jakich naturalnych n prawdziwe sa podane nierownosci? Sformuluj
hipoteze i udowodnij ja stosujac zasade indukcji:

a) 2^n 2n

b) 2^n 2n + 1

c) 2^n n^2

d) 2^n n^3

e) (1-1/4) * (1-1/9) * (1-1/16) * ... * [1-1/(n^2)] = (n+1)/(2n)

f) 2^n 5n

Mam nadzieje, ze rozczytacie sie z tych ulamkow ;) Te dwa zadania
pochodza ze "Zbioru zadan z matematyki dla klasy I i II liceum
ogolnoksztalcacego" - autorzy: Norbert Drobka i Karol Szymanski,
zadania nr 11.3 i 11.4 str. 147.

Zaraz po wakacjach praca klasowa z ciagow, a ja nic nie rozumiem.
Dzieki za pomoc!

Hubert Karbowy





Temat: [ Nierownosc Cauch'iego ]



| Nierownosci Cauch'iego [srednia arytm. n liczb jest
| niemniejsza od ich sredniej geometrycznej].

Do tego można użyć nierówności pomocniczej:
Jeśli Suma n liczb dodatnich jest równa n, to ich
iloczyn jest niewiększy niż 1. Dowód indukcyjny.


... na przyklad we wrzesniowym watku "Dwa problemy z indukcja". :-)
http://niusy.onet.pl/niusy.html?t=watek&group=pl.sci.matematyka&tid=3...

Maciek





Temat: Matura nie taki pikuś

Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Wzór (a – 1)(1 + a +...+ an-1) = an -1. Indukcja matematyczna. Różnowartościowość funkcji. Funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Dwumian Newtona. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Nierówności trygonometryczne. Wzory redukcyjne. Przykłady ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie. Pojęcie granicy ciągu. Obliczanie granic ciągów. Suma szeregu geometrycznego. Pojęcie funkcji ciągłej. Pojęcie pochodnej. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej. Obliczanie pochodnych wielomianów i funkcji wymiernych. Związek pochodnej z istnieniem ekstremów i z monotonicznością funkcji. Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania problemów praktycznych. Przykłady przekształceń geometrycznych: obrót. Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych. Wielościany foremne. Rzut prostokątny na płaszczyznę. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoullego. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.

Z całego programu szkolnego wywal powyższe treści i zostaną cztery podstawowe działania matematyczne...




Temat: Zrozumieć matematyke
Z równaniami sprwa jest wyjątkowo prosta.
Cała zabawa polega na tym, żeby bez dzielenia przez niewiadomą doprowadzić je do stanmu w którym niewiadoma jest po jednej stronie znaku równości, a wiadome po drugiej.
Do dyspozycji masz wszystkie działania matematyczne, które działąją w dziedzinie liczb rzeczywistych (dlatego lepiej nie dzielić przez niewiadomą, bo nigdy nie wiesz, czy nie jest to czasem 0).

Nierówności - analogicznie, z tym że tu odpada potęgowanie i pierwiastkowanie obu stron no i przy mnżeniu bądź dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić < na > lub odwrotnie.

PS. Żeby się czegoś nauczyczyć, najpierw trzeba określić czego się nie rozumie.
Nie można nie rozumieć rozwiązywania równań - rozwiązywanie równań składa się z wielu czynności, z których na przykład dodawanie świetnie znasz (mam nadzieję).



Temat: Indukcja matemat... 2 nierówności

Konrad Kubacki:

| Wykazać metoda indukcji matematycznej,
| że dla każdego n spełniającego
| warunek w nawiasie zachodzi nierówność:


Zaproponowalem (nawet rozwiazalem :-) zadanie:


Pokaz, ze   2^n n^4  dla  n 16.
================================== =


Zdradze tajemnice. Zachodzi ogolniejsze:

ZADANIE  Niech  K  bedzie dowolna liczba naturalna
(calkowita, dodatnia). Niech  a := 2^(2^K - K)
Pokaz, ze:

    2^n   n^a   dla kazdego  n 2^2^K

UWAGA 1   Dla  L := 2^2^K  mamy rownosc:  2^L = L^a.

UWAGA 2   Dla  K=0  teza zadania nie zachodzi,
ale tylko "ciut ciut nie zachodzi".

PRZYKLAD (jeszcze jeden)  2^n n^32  dla  n 256;
(i jeszcze jeden)  2^n n^4096  dla  n 65536.

Pozdrawiam,

    Wlodek





Temat: f.kwadratowa, wielomiany i f.liniowa i pytanie:) dziekuje
Dla jakich wartosci parametru a zbior rozwiazan nierownosci x^2-3x +2 < 0 jest zawarty w zbiorze rozewiazan nierownosci ax^2-(3a+1)x +3 >0 ?

Wyznacz te wartosci parametru m, dla ktorych rownanie x^2-(m-3)x+m-1=0 ma dwa rozwiazania x1 i x2 spelniajace warunek x1^2*x2+x1*x2^2+x1*x2=2.

Zbadaj, dla jakich wartosci parametru m rownanie (m-2)x^4 -2(m+3)x^2 +m +1=0 ma cztery rozne pierwiastki rzeczywiste.

Wyznacz te wartosci parametry p, dla ktorych rownanie x^4+(p+1)x^2+p^2-1=0 ma dokladnie dwa rozne pierwiastki.

Dla jakich wartosci parametru m rownanie x^5+(1-2m)x^3+(m^2-1)x=0 ma:
a) 5 pierwiastkow
b) dokladnie 3 pierwiastki
c) tylko jeden pierwiastek

Zbadaj dla jakich wartosci parametru m punkt przeciecia prostych mx+(2m-1)y-3m=0 i x+my-m=0 nalezy do prostokata o wierzcholkach A=(-1,-2), B=(1,-2), C=(1,2), D=(-1,2) ?

Pytanie:
Jak dzieli sie wielomiany przy pomocy "grupowania wyrazow". Prosze o wyjasnienie teoretyczne i praktyczne (na jakims przykladzie). Poprostu u nas w szkole nauczycielka preferuje schemat Hornera, a ja uwazam ze lepsze jest to grupowania i warto byloby je umiec, biorac pod uwage ze zdaje rozszerzona mature z matematyki...

pozdrawiam



Temat: ciag ograniczony a ciag zbiezny
Subject: ciag ograniczony a ciag zbiezny
Wszyscy na pl.sci.matematyka czytajcie uważnie, bo
Radek pisze

Czym to sie rozni?
w tablicach matematycznych nie ma takiej definicji....


Jakiej definicji?

Ciąg ograniczony to taki, którego zbiór wartości
jest ograniczony. Tzn. znajdzie się takie liczby
m i M, że wszystkie wyrazy a spełniają taką
(podwójną) nierówność)        m <= a <= M

Zbieżny to taki, który ma granicę, tzn. wyrazy
przyjmują wartość coraz bliższe pewnej wartości.

Każdy zbieżny jest ograniczony,
ale odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe:

przykłady:
ciągi ograniczone i nie zbieżne:
         a(n)  =   (-1)^n
         b(n)  =   n mod 5  (reszta z dzielenia
                             przez 5)
         c(n)  =   sin (n)

         Tu widzisz, że każdy okresowy (ale nie
         stały) jest ograniczony i niezbieżny.  

Mc





Temat: wszystko z wyjątkiem czegoś


Dlaczego 'prawie wszystko' jest twoim zdaniem poprawne? Przecież
'wszystko' implikuje brak innych możliwości.



przeze mnie zdanie.
Na analizie matematycznej słyszałem wiele razy, że nie można używać zwrotu:
dla zbioru liczb zespolonych z wyjątkiem jakiejś liczby. Zbiór liczb
zespolonych zawiera liczby rzeczywiste i urojone... Ale nie o tym. 'Prawie

to oznacza to, że mamy na myśli jakiś zbiór liczb z wyjątkiem jakiejś liczby
(ewentualnie kilku liczb lub podzbioru). Jeśli ktoś mówi 'wszystko', to
znaczy, że dokładnie wszystko bez wyjątku.

Przykład. Chcę kupić samochody z salonu. Mówię do sprzedawcy, że chcę kupić
wszystkie samochody z wyjątkiem jednego. (IMO - błąd; wiem, że sprzedawca
zrozumie moją intencję)
Przykład z liczbami. Nierówność jest spełniona dla zbioru liczb rzeczywistych
z wyjątkiem '3'. (IMO - błąd, bo zbiór liczb rzeczywistych zawiera wszystkie
liczby rzeczywiste bez wyjątku)

Stąd powstało moje pytanie...





Temat: Mamły problem
Jako, że nie oddałem Pani od matematyki zadań na czas, zadała mi dwa trudniejsze za które nie wiem nawet jak się zabrać:( Szukałem trochę w internecie czy nie ma gdzieś podobnych przykładów i natrafiłem na tą stronę. Zarejestrowałem się tutaj i odnoszę z prośbą o pomoc, jeżeli był by Ktoś wstanie je rozwiązać bądź chociaż powiedzieć jak je policzyć bym był wdzięczny.

1. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, w których suma wynosi 18.
Jeżeli trzecią z nich powiększymy o 80 %, to otrzymamy ciąg geometryczny.
Znajdź te liczby.

2.Wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego (an) są liczbami naturalnymi Drugi wyraz tego ciągu jest równy 12. a suma 5a spełnia nierówność 200<5a<220. Wyznacz ten Ciąg.

Za pomoc z góry dziękuje wszystkim naraz i każdemu z osobna.



Temat: Helyandzkie? Helyanwowe? hmm..."Twierdzenie A. Helyanwe

Mimo wszystko, wymiarowa figura płaska składa się z punktów bez wymiaru. I to jest ten moment, w którym popadamy w koło. Wierzę w to, że świat matematyki to pełny system, lecz jako trójwymiarowy człowiek nie jestem w stanie ogarnąć jego granic.

przyklad z przyrody: plaska figure tworzy cień, posiada miejsca w ktorych sie konczy, ale dokladnie nie jestes w stanie pokazac w 3d przestrzeni krawedzi, bo trzeci wymiar jest jedynie projekcja dwuwymiarowego ksztaltu na jakas plaszczyzne czy ksztalt 3d. Z punktu widzenia istoty widzacej w 2 wymiarach niezaleznie na jaka plaszczyzne czy ksztalt 3d ow cien pada zawsze ma takie same wymiary (w sensie nie zagina sie na nierownosciach trzeciego wymiaru). no



Temat: podobny a przystajacy
Wszyscy na pl.sci.matematyka czytajcie uwaznie, bo
Radziu pisze
[pociąłem]


Jaka jest roznica miedzy trojkatem podobnym a trojkatem przystajacym do
danego trojkata?


Tłumacząc z polskiego na nasze, to tak:
(wyjaśnienie nieprecyzyjne, ale obrazowe)
Figury (a więc i w szczególości trójkąty)
przystające to identyczne.
Figury podobne - to takie, które są tylko
przeskalowane - ileś tam razy większe,
albo ileś tam razy mniejsze.

Np. wszystkie trójkąty równoboczne są
podobne, ale trójkąt równoboczny
o boku 3 i tr. równob. o boku 5 nie
są przystające.
Inny przykład: narysuj sobie w układzie
XOY trójkąty ABC   i   AEF, gdzie
A=(0,0)    B=(1,0)   C = (0,4)
           E=(5,0)   C = (0,20)


A.. i jeszcze jedno - czy "nierownosc trojkata" to ta zaleznosc, ze suma
dlugosci dowolnych dwoch bokow musi byc wieksza od dlugosci trzeciego?


tak.


pozdrawiam, Radek.


Mc





Temat: wszystko z wyjątkiem czegoś



| Dlaczego 'prawie wszystko' jest twoim zdaniem poprawne? Przecież
| 'wszystko' implikuje brak innych możliwości.

przeze mnie zdanie.
Na analizie matematycznej słyszałem wiele razy, że nie można używać zwrotu:
dla zbioru liczb zespolonych z wyjątkiem jakiejś liczby. Zbiór liczb


Można, można


zespolonych zawiera liczby rzeczywiste i urojone... Ale nie o tym. 'Prawie


ROTFL! Chciałes błysnąć, a głupio wyszło. Co to niby są
liczby urojone?


to oznacza to, że mamy na myśli jakiś zbiór liczb z wyjątkiem jakiejś liczby
(ewentualnie kilku liczb lub podzbioru). Jeśli ktoś mówi 'wszystko', to
znaczy, że dokładnie wszystko bez wyjątku.


Chyba że powie, że z wyjątkiem.


Przykład. Chcę kupić samochody z salonu. Mówię do sprzedawcy, że chcę kupić
wszystkie samochody z wyjątkiem jednego. (IMO - błąd; wiem, że sprzedawca
zrozumie moją intencję)
Przykład z liczbami. Nierówność jest spełniona dla zbioru liczb rzeczywistych
z wyjątkiem '3'. (IMO - błąd, bo zbiór liczb rzeczywistych zawiera wszystkie
liczby rzeczywiste bez wyjątku)


Powtarzasz się. Nie masz racji.


Stąd powstało moje pytanie...


Toteż odpowiedzieli Ci, a Ty dalej swoje. Zlituj się i
przestań forsować nieudaną koncepcję. Według Ciebie nie

forall x in R, x eq 3

Zastanów się, spuść z tonu i wyśpij się.





Temat: błędy w Mathematica, Maple, Matlab, Derive, Mathcad, itp

| Jeden znam - ujawnił się podczas rozwiązywania pewnej nierówności
| wczoraj około 23:30 :-))

Ciekaw jestem jakie to bledy, gdyz niestety programy matematyczne do
obliczen wykorzystuja metody numeryczne.
Jest bardzo wiele metod numerycznych, ich wybór zależy od danych. Dla
jednych danych jedna metoda da bardzo dobry wynik, a dla innych popelni blad
np 300%. Tak wiec w takich programach zawsze mozna znalezc dane wejsciowe
przy ktorych programy wspomniane popelnia ponad 100% blad.
Pozdrawiam


Masz racje, mi chodzi jednak o konkretne przykłady, gdyby ktoś się z takimi
spotkał, np stara dosowska wersja derive'a jako wynik całki z x^-2 w granicach
(-1,1) podaje wynik -2 co wynika z bezpośredniego podstawienia do wzoru
Leibnitza(program ten liczy również symbolicznie) w nowej wersji jest to
poprawione, chodzi mi właśnie o tego typu konkrety.




--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl





Temat: Warsztaty - komentarze, przemyślenia i inne badziewia ;)
Nierówność poziomu - no cóż... To jest jedyna wada tego typu warsztatów. Nie da się przecież zrobić wszystkiego na jednym, równym poziomie (przecież dla jednego liczba Eulera może być super łatwa, dla drugiego super trudna).

Co do dostosowania tematów do profilów... Przede wszystkim, priorytetem było dobranie odpowiedniej ilości tematów do nauczycieli uczących danego przedmiotu, czyli chodzi o to, że np. przez to, że mamy dużą liczbę nauczycieli z j.polskiego musimy być automatycznie dużo tematów z polskiego. To jest po prostu kwestia techniczna, której nie da się przeskoczyć. Bo przecież nie może być sytuacji, że połowa szkoły robi prezentacje z matematyki (nie biorąc już nawet pod uwagę tego, że nie starczy nauczycieli do komisji), a dwie grupy piszą coś na polski.

I to, że liczby Eulera na przykład nie ma w programie LO, nie znaczy, że nie może powstać taki temat. Za wygranie warsztatów otrzymuje się 6 z danego przedmiotu, a to oznacza, że temat musi wychodzić po za ramy "zwykłości". Zresztą znaleść w necie coś o liczbie Eulera to nie problem...

PS. Imiona? Nie tylko . Nazwiska też są "oryginalne" .




Temat: 19.12.2007
sprawdzian z matematyki:
-funkcja wykladnicza i logarytmiczna-wykres i wlasnosci
-logarytmy-rownania i nierownosci?-podobno proste przyklady



Temat: [matematyka]Rownania i nierownosci wykladnicze
Czy moglby mi ktos pomoc w rozwiazaniu nastepujacych przykladow?





Temat: Zmiana podstawy programowej z matematyki i jej wpływ na przebieg egzaminów zewnętrznych w r.szk. 2008/2009
Komunikat dyrektora CKE z dnia 11.09.2008 r. na temat wpływu zmiany podstawy  programowej z matematyki na przebieg egzaminów zewnętrznych w roku szkolnym 2008/2009.

Młodzież, która przystąpi do egzaminów w roku szkolnym 2008/2009, była uczona według programów nauczania uwzględniających treści starej podstawy programowej. Obowiązująca od  1  września 2007 r. nowa podstawa programowa z matematyki  różni się zakresem treści dla poszczególnych etapów kształcenia od podstawy programowej obowiązującej wcześniej. Mając to na uwadze, ogłaszam listę treści, które nie będą sprawdzane na egzaminach zewnętrznych w roku szkolnym 2008/2009.  Poziom egzaminu   Treści nauczania, które nie będą sprawdzane na sprawdzianie i egzaminach w roku szkolnym 2008/2009 Sprawdzian w klasie VI Procenty. Przykłady przyporządkowań; zaznaczanie punktów o danych współrzędnych i odczytywanie współrzędnych punktów na płaszczyźnie. Przykłady odbić lustrzanych; oś symetrii figury. Kąty wierzchołkowe; kąty przyległe. Ostrosłupy – ich siatki i  modele. Walce, stożki, kule – rozpoznawanie w  sytuacjach praktycznych.
Egzamin gimnazjalny Przykłady liczb niewymiernych. Wzory skróconego mnożenia. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Kąt środkowy i  kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Przykłady przekształceń geometrycznych. Proste równoległe przecięte trzecią prostą. Twierdzenie Talesa. Wzajemne położenie prostej i  okręgu; prosta styczna. Równoległość i  prostopadłość w przestrzeni.
Egzamin maturalny z matematyki – poziom podstawowy Podstawowe pojęcia rachunku zdań. Potęgi o wykładniku niewymiernym. Logarytmy; podstawowe własności logarytmów. Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bézouta. Definicja ogólna funkcji homograficznej i  jej własności. Sposoby rozwiązywania nierówności z funkcją homograficzną. Przekształcenia wykresów funkcji liczbowych: y=-f(x), y= f(-x). Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie. Opis półpłaszczyzny za pomocą nierówności. Miara łukowa kąta. Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Funkcja wykładnicza.
Równania trygonometryczne; sin x=a, cos x=a, tg x= a,
dla 0o < x <90o.
Równanie okręgu  (x-a)



Temat: Maturalne repetytorium - MATEMATYKA na 100%!
Witam serdecznie wszystkich uczniów mających problemy z matematyką lub zdających maturę z tego przedmiotu. Poniżej znajdziesz wszystko, co powinieneś wiedzieć na maturze o zbiorach i liczbach, a czego nie potrafili wyjaśnić nauczyciele.

KLIKNIJ i przekonaj się, jak niska jest cena WIEDZY!

Maturalne repetytorium z matematyki: liczby i zbiory.
Książka wyjaśnia krok po kroku kolejne zagadnienia i pokazuje na przykładach, jak radzić sobie z zadaniami. KAŻDE zadanie jest rozwiązane, więc możesz uczyć się mając pewność, że będziesz cały czas wiedział, o co chodzi.

Istnieje wiele książek do matematyki, ale naprawdę mało która tłumaczy zagadnienia tak zrozumiale. Z naszego ebooka możesz uczyć się samodzielnie, bez pomocy nauczyciela, bo autor jest Twoim nauczycielem i na bieżąco wyjaśnia wszystkie pojawiające się wątpliwości.

Oto, jakie zagadnienia porusza książka.
-> Co to jest zbiór, suma, iloczyn i różnica zbiorów, dopełnienie zbioru; własności działań na zbiorach?

->Podstawowe prawa rachunku zdań, dowodzenie twierdzeń na podstawie rachunku zdań

->Co to jest zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory, liczby naturalne (liczby pierwsze), liczby całkowite...

->Definicja potęgi o wykładniku wymiernym oraz prawa działań na potęgach o wykładnik wymiernym oraz rzeczywistym

->Co to jest oś liczbowa i co to jest układ współrzędnych na płaszczyźnie, przedziały liczbowe na osi?

->Definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretacja geometryczna, odległość punktów na osi liczbowej, metody rozwiązywania i interpretacja geometryczna równań i nierówności z wartością bezwzględną

->Pojęcie błędu przybliżenia oraz zasady szacowania wartości liczbowych, co to jest procent i jak wykonuje się obliczenia procentowe?

->Zasada indukcji matematycznej.

Ja skorzystałem. Z dwójki na koniec roku z matematyki na maturę wyszedłem na piątkę! Przekonaj się, że ty też możesz zrozumieć matematykę, nie wkuwając niczego na pamięć![/url]



Temat: Czego nie będzie sprawdzała Nowa matura z matematyki?! 2008
Zadania egzaminacyjne w roku 2008 nie będą sprawdzać następujących treści:

* Egzamin maturalny z matematyki – poziom podstawowy

o Podstawowe pojęcia rachunku zdań.
o Potęgi o wykładniku niewymiernym.
o Logarytmy; podstawowe własności logarytmów.
o Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bézouta.
o Definicja ogólna funkcji homograficznej i jej własności.
o Sposoby rozwiązywania nierówności z funkcją homograficzną.
o Przekształcenia wykresów funkcji liczbowych: y=-f(x), y= f(-x).
o Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie.
o Opis półpłaszczyzny za pomocą nierówności.
o Miara łukowa kąta.
o Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.
o Wykresy funkcji trygonometrycznych.
o Funkcja wykładnicza.
o Równania trygonometryczne; sin x=a, cos x=a, tg x= a, dla 0o < x <90o.
o Równanie okręgu (x-a)2 + (y-b)2= r2 .
o Wzory dotyczące permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń.

* Egzamin maturalny z matematyki – poziom rozszerzony

o Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
o Wzór (a – 1)(1 + a +...+ an-1) = an -1.
o Indukcja matematyczna. Różnowartościowość funkcji.
o Funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe.
o Dwumian Newtona. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
o Nierówności trygonometryczne.
o Wzory redukcyjne.
o Przykłady ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie.
o Pojęcie granicy ciągu.
o Obliczanie granic ciągów.
o Suma szeregu geometrycznego.
o Pojęcie funkcji ciągłej.
o Pojęcie pochodnej.
o Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej.
o Obliczanie pochodnych wielomianów i funkcji wymiernych.
o Związek pochodnej z istnieniem ekstremów i z monotonicznością funkcji.
o Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania problemów praktycznych.
o Przykłady przekształceń geometrycznych: obrót.
o Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych.
o Wielościany foremne.
o Rzut prostokątny na płaszczyznę.
o Prawdopodobieństwo warunkowe.
o Wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
o Niezależność zdarzeń.
o Schemat Bernoullego.
o Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.

źródło: http://www.cke.edu.pl/ind...id=513&Itemid=2




Temat: Kandydaci na studia wyzsze sa niedouczeni


W naglowku -- tytul artykulu w katowickim wydaniu Wyborczej, w ktorym
kilka slow o poziomie studentow pierwszych lat studiow scislych:


Może wsadzę kij w mrowisko - czy to jest znaczący problem dla wydziałów
matematyki i pokrewnych (informatyka, fizyka), czy głównie dla innych?

Uczę studentów pierwszego roku matematyki na UW od ładnych kilku lat i
nie widzę specjalnego spadku poziomu, ani problemów dydaktycznych
związanych z obniżaniem się ich poziomu; nie zauważyłem też żadnego
problemu po przyjściu roczników po reformie edukacji.

Sensowny program studiów matematycznych i tak powtarza lwią część
materiału liceum po swojemu, z pozostałej zaś na ogół nie korzysta. Od
lat analizę matematyczną, rachunek prawdopodobieństwa czy teorię
mnogości wykłada się tak, jakby ludzie tego materiału specjalnie w
szkole nie mieli. Oczywiście, wskazane jest, żeby studenci o wielu z
tych pojęć słyszeli po raz drugi, wtedy jest im łatwiej. Jednak programu
studiów nie pisze się jako kontynuacji licealnego. Dla mnie ważniejsze
jest, czy student umie poprawnie rozwiązywać równania, układy równań,
nierówności niż czy znakomicie rozumie granicę funkcji w punkcie w
ujęciu Heinego i Cauchy'ego.

Nie twierdzę, że problemu w ogóle nie ma, ale dobre wydziały matematyki
powinny sobie z nim radzić bez specjalnego problemu. A może raczej nie
tyle robić z sytuacji problem, ile monitorować na bieżąco program
szkolny, umiejętności studentów I roku.

Znaczący problem powstaje za to na styku programu liceum z wydziałami,
na których matematyka stanowi poboczny przedmiot (np. chemia, geologia,
zarządzanie). Tam tnie się w tej chwili liczbę godzin matematyki, co
usankcjonowane jest wytycznymi ministerstwa w zakresie liczby godzin i
programu studiów. Z kolei na niektóre z tych wydziałów trafia mieszanka
studentów po profilu mat.-fiz. i ogólnym. Po reformie edukacji
rozwarstwienie pomiędzy nimi jest dramatyczne - ci ostatni nigdy nie
widzieli pojęcia granicy ciągu, czy funkcji, pochodnej, itp.

Dla przykładu - teoretycznie ja i koordynowany przeze mnie zespół ma
przerobić na pewnym wydziale UW w ciągu 30h. zajęć granice funkcji,
rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, rachunek
różniczkowy funkcji wielu zmiennych, równania różniczkowe i szeregi
potęgowe.

I dopiero w takiej sytuacji zaczyna mnie obchodzić, ile ludzie wynieśli
z liceum...

Pozdrawiam,
Marcin





Temat: Egzamin z matematyki
pl.sci.matematyka alt.pl.matematyka

Witam. Przygotowywuje sie do poprawki z matematyki i mam problem (a raczej
watpliwosci z nastepujacymi zadaniami). Moglby mnie ktos naprowadzic na
odpowiedz? Jesli tak to prosze o w miare konkretne uwagi z dbaloscia o
uzywane slowa i szczegoly, bo moj Profesor jest dosc wymagajacy w tej
kwestii. Z gory dziekuje za pomoc.

1) Podac przyklad macierzy uzupelnionej o 4 rownaniach, 5 niewiadomych i 3
zmiennych bazowych?

Jak mam tu potraktowac te zmienne bazowe? Czy cos takiego bedzie ok:

1 0 0 1 2 1
0 1 0 3 4 2
0 0 1 5 6 3
0 0 0 0 0 0
??
gdzie kolumny to po koleji x1, x2, x3, x4, x5, b. Zmienne bazowe: x1, x2,
x3, a swobodne: x4, x5?

2) Dlaczego Hesjan jest symetryczny?

Z jakiej "strony" to rozpatrywac? Wyjsc z tw. Schwarza ze pochodne czastkowe
II stopnia po x i y oraz po y i x sa sobie rowne? Bo slyszalem ze to nie
jest niestety poprawna odpowiedz... Moze cos z rozniczka zupelna?

3) Dlaczego rzad macierzy jednostkowej jest rowny jej stopniowy?

Tutaj wymyslilem cos samemu, nie wiem czy to wystarczy:
Rzad macierzy to maksymalna ilosc niezaleznych wierszy. W macierzy
jednostkowej (czyli jednoczesniej kwadratowej) wszystkie wiesze sa liniowo
niezalezne, tzn. wszystkie alfa1, alfa2, ... , alfaN (wspolczynniki stojace
przy kolejnych wyrazach a1, a2, ... , an tego wiersza) musza byc rowne 0 by
wiersz ten byl rowny 0. Liczba wierszy to stopien macierzy a jednoczesniej
liczba wersow.

Nie wiem czy takie cos jest wystarczajace...

4) Zaleznosc miedzy wyznacznikiem a rzedem?

Czy jedyna zaleznosc to tw: rzad macierzy jest rowny najwyzszemu ze stopni
jej nieospobliwych macierzy (czyli takich gdzie wyznacznik jest rozny od
0)??

5) Podac przyklad ukladu 3 nierownosci liniowych o 4 niewiadomych ktory jest
sprzeczny?

Czy to mozna podac w postaci macierzy? A jesli nie to jak inaczej?





Temat: Niespodzianki na studiach Przyklad Twierdzenie Banacha
Jedna z niespodzianek czekajacych na maturzyste ktoremu uda
sie dostac index jest nagly skok poziomu pomidzy liceum a studiami wyzszymi.
Znajac program matematyki szkoly sredneij nalezy przygotowac
sie np. na udowadnianie twierdzen powyzej geometrii.
Prykladem jest np. tw. banacha, polksiego matematyka ktory
stworzyl koncepcje tzw. Przestrzeni Banacha, ktore przeykladem
jest np plaszczyzna x*y.

Twierdzenie Banacha (przyklad tego skoku bez koniecznosci
zrozumienia)

Operator zwezajacy w przestrzeni Banacha
(przestrzeni metrycznej, zupelnej tzn. metryka i
kiedy kazdy ciag podstawowy jest zbiezn) ma tylko jeden punkt
staly.

Dowod:

Niech (X,d) bedzie nie zerowa przestrzenia Banacha a F operatorem
zwezajacym tzn takim ze odleglosc miedz obrazami jest mniejsza
niz miedzy orginalnymi argumentami d(Tx, Ty) < q T(Tx,Ty) gdzie
0<=q<1
Niech xo nalezy do X i xn=T^n=T*T... T xo

Najpierw udowadniamy lemat metoda indukcji matematycznej
Lemat:

d(T^n xo, xo) < (1-q^n)/(1-q) a

Oczywisty dla n=0

Niech d(T^n xo, xo) < (1-q^n)/(1-q) a

wtedy, z nierownosci trojakta w kazdej przestrzeni metrycznej

((d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y))

d(T^(n+1) xo,xo) < d(T^(n+1) xo, T^n xo) +d(xo,T^n xo)<
q^n d(T xo,xo) + (1-q^n)/(1-q) a <= (q^n-q^n+1)/(1-q) a + (1-q^n)/(1-q) a = (1 - q^(n+1)/(1-q)

Dlla dowolnego eps istnieje N takie ze q^n/(1-q^n)a < eps dla kazdego
n>N poniewaz q^n moze byc dowolnie male jesli q<1
Dla dowolnego n,m

d(xm,xn)=d(T^m xo,T^n xo) < q^n d(T^(m-n) xo, xo) <=
(q^n 1- q^(n-m))/(1-q)a < q^n/(1-q) a < eps

Poniewaz X jest zupelna ciag ten jest zbiezny bo podstawowy.
NIech x* bedzie granica.
NIech d(T x*, x*) > 0 = sig.
Poniewaz xn zbiega do x* istneije N takie ze dla kazdego
n>N d(xn ,x*)<sig/2
Wtedy z nierownosci trojkata

d(Tx*,x*)<=d(Tx*,xN+1) +d(x*,xN+1)<=
q d(x*,xN)+d(x*,xN+1)<sig/2+sig/2
co daje sprzecznosc wiec d(T x*,x*)=0

Niech x' bedzie innym punktem stalym taki ze x' <> x* d(x',x*)>0
Wtedy

d(x',x*)=d(Tx',Tx*)<=q d(x',x*)< d(x',xo), wiec x* jest ten
sam co x' czyli jeden. CND

Jek widac w tym przykladowym twierdzeniu jest to nagly skok
trudnosci w porownaniu z liceum.
Podczas studiow scisly nelzy umiec udowadniac okolo 100-200
podobnych twierdzen.



Temat: Dlaczego w Polsce nie ma partii libertariańskiej??

Nie władzy wszelkiej, a władzy nie dobrowolnej.


Nie wiem, ja mam przeczucia, że anarcho-kapitalizm to idea pokroju komunizmu.
Ma przeczucia ze ko-liberalizm to taki socjalizm, różnica w kwestii skali, na obiecują wolności, a potem przyjdzie Korwin i przekombinuje z prawem jazdy albo Cejrowski (narkotyków zakaże i wizy wprowadzi by się jakieś Ruskie czy Bułgary po dumnej Polsce nie pałętały( tak kiedyś pisał). Nie wiadomo co się po nim spodziewać. Ulica prywatne czy państwowe? Czy na prywatnej ulicy bedzie można zrobić homomarsz? Jakie prawa dla zwierząt?

Na szybko krótkie i byle jak porównanie. Trzeba lepiej dobrać słowa i terminy.
Przykład nowo-mowy, oczywiście każdy anarchista i państwowiec jest inny. Starałem się jako tako dobrać tak by nie tylko do jednej gałęzi danej grupy pasowało.

walka klas - walka państwa ze społeczeństwem
burżuazja - władza
zgniły kapitalizm - władza państwowa
społeczeństwo bezklasowe - społeczeństwo bezpaństwowe
sprawiedliwość społeczna - brak kajdan społecznych
imperlialistczni podżegacze wojenni - państwowcy pragnący utrzymać państwo
świadomość klasowa - świadomość antypaństwowa
wyzysk klasowy - wyzysk państwa na obywatelu
likwidacja nierówności społecznych - likwidacja nierówności w państwie (jedna władza nad drugą)
fidelistyczne przesądy - państwowe stereotypy
demokracja ludowa - anarchia ludowa
dziejowa konieczność (upadek kapitalizmu) - wyzwolenie ludzi (upadek państwa)
komuniści awangardą światoej rewolucji proletariackiej - anarchiści światoej rewolucji anty-państwowej
reakcja - państwowość
wróg ludu (wróg klasowy) - państwowiec (niektórzy nawet państwa minarchistów chcą likwidować!)

Poza tym porównywanie władzy do niewoli jednego nad drugim - czy nie prawie identycznie zaczyna się chociażby manifest komunistyczny? Jedna klasa wyzyskiwana przez drugą, jedna ma władzę nad drugą.

Co do Korwina - on wyznaje typowy korwinizm, przykładanie matematyki do polityki gdzie się da. Ludzie to nie roboty, więc wiele jego pomysłów jest po prostu zbyt nierealnych.

Cejrowski sprzeciwia się narkotykom - to go robi socjalistą? Jakoś nie słyszałem by Federaści z USA chcieli legalizować ten biznes. Oczywiście poza skrzydłami libertariańskimi. Co do imigrantów to wiele nie wiem, kiedyś mu TVN zarzucało takie pomysły. Poza tym to było pewnie w WC Kwadrans i ponad 10 lat temu, proszę o źródła.

[ Dodano: Czw Sie 07, 2008 17:16 ]



Temat: Zbieżność specyficznego szeregu (zespolone)...


modułów liczb zespolonych odpowiednio x_j i y_j). Autor następnie pokazuje,
że:
(2) Abs( Sum( j=1, n , x_j*sprzężenie(y_j) ) ) < inf
co jego zdaniem w sposób 'oczywisty' daje wynik, że szereg
(3) Sum( j=1, inf, x_j*sprzężenie(y_j) ) jest zbieżny.


Chcialbym wiedziec, co to za ksiazka. Brednia totalna!
Albo cos przekreciles, albo autor powinien zajac sie wykladaniem plytek w
klozecie zamiast matematyki.
Prawidlowe uzasadnienie jest takie, ze ciag sum czesciowych szeregu
 Sum( j=1, n , x_j*sprzężenie(y_j) )
jest ciagiem Cauchy'ego, tj.
ze
 Sum( j=m, n , x_j*sprzężenie(y_j) )
jest jednostajnie szacowany dowolnie mala stala epsilon (wspolna dla
wszystkich dostatecznie duzych m i n).
To zas wynika wprost z nierownosci Schwarza
 Sum( j=m, n , x_j*sprzężenie(y_j) ) <
< Sum( j=m, n , |x_j|^2 ) ^(1/2) * Sum( j=m, n , |y_j|^2 ) ^(1/2) <
< Sum( j=m, infty , |x_j|^2 ) ^(1/2) * Sum( j=m, infty , |y_j|^2 ) ^(1/2)
oraz obserwacji, ze ogony szeregu
Sum( j=m, infty , |x_j|^2 )
sa zbiezne do zera (skoro caly szereg jest z zalozenia zbiezny)
To tyle.


Gdyby w (2) i (3) zastąpić x_j*sprzężenie(y_j) przez dowolny zespolony z_j,
to da się skonstruować przykład ciągu liczb zespolonych z_j spełniającego
(2) a nie spełniającego (3). [Na przykład z_j = (-1)^n + i*(-1)^n ].
Logiczne zatem wydaje się, że owa 'oczywistość' implikacji (2) =(3)
wykorzystuje (1). Będę wdzięczny jeśli ktoś dopowie mi tych kilka
oczywistych linijek.

Dzięki,

Mateusz


--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl





Temat: Warkocze Artina


|            Warkocze Artina
|            ===============

Z warkocza mozna zrobić węzeł w następujący sposób:

Owijamy warkocz raz dookoła walca i łączymy jego koniec i początek w ten
sposób, aby uzyskać zamkniętą pętlę jednego sznurka owinietą tyle razy
dookoła walca, ile było nitek w warkoczu.

Nie wiem tylko czy zawsze jest mozliwa operacja odwrotna.
To znaczy czy z kazdego wezła przez rozciecie mozna uzyskac warkocz?
Ale chyba nie.

Pozdrawiam WM


Odpowiedz brzmi TAK. Jest to trudne twierdzenie znakomitego
topologa ameryukanskiego, Alexandera, ktory nawet podal
algorytm do takiego zdeformowania wezla, zeby mozna go bylo
interpretowac jak sklejony warkocz. Efektywny algorytm
podal francuski matematyk Pierre Vogel.

Byly z tym zwiazane wielkie nadzieje na uzyskanie klasyfikacji
wezlow. Jak dotad nikomu to sie nie udalo, mimo ze warkocze
tak ladie sie klasyfikuja.

Mialem o tym piosac. Dziwna to sytuacja. Nawet mialem

A w ogole, teoria wezlow jest przykladem teorii
geometrycznej, zredukowanej kompletnie do kombinatoryki
i algebry, ale wciaz piekielnie trudnej.  Topolodzy
tym sie nie przejmuja i rozpatruja jeszcze trudniejsze
problemy.

Pozdrawiam,

    Wlodek

PS. Powstala dziwna rozbieznosc pomiedzy Google
i PolNews. Artykul, na ktory odpowiadam w PolNEWS
nie pokazal sie. W PolNEWS jest moj post
"Nierownosc zwiazana z liczbami doskonalymi",
ale nie w google, ani nigdzie indziej.  zdaje
sie, ze cos nie tak z PolNEWS?
Algorytm byl nieefektywny i niepraktyczny.


--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -http://www.gazeta.pl/usenet/


--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl





Temat: Lista wrogów zoologii

Etolodzy dostali nagrodę Nobla jako jedyni z zoologii, nikt więcej już za te pierdoły nie dostanie tej nagrody! Przepraszam za użycie słów mogących kogoś urazić, ale to dopiero wówczas odda pełny sens wypowiedzi.
Widać na tej podstawie jak to mocno Nobel uczynił z biologów molekularnych bohaterów całej ludzkości. A kim się stali zoolodzy w przeciągu całego dwudziestego stulecia - z szanowanych badaczy dokonujących wielkich czynów stali się interiorem nauki. Stało się to prawdopodobnie za skutkiem tego kawałka medalu.
Nobel faworyzuje zatem pewne dyscypliny, sprawia, że pewne przestają istnieć w powszechnym wyobrażeniu o nauce. Tak więc powinien zostać zlikwidowany. Skoro zatem nie traktuje wszystkich dyscyplin dających jakikolwiek pożytek tak samo, to nie powinien - rzecz jasna - istnieć.
Weźmy jeszcze pod uwagę, że jest to nagroda strasznie polityczna. Nie chodzi tutaj tylko o Pokojową Nagrodę Nobla, ale o każdą inną.
Proponowałbym wprowadzenie porównywalnej nagrody z matematyki, nauk fizycznych - fizyka, chemia, geologia, nauk o życiu - biologia ogólna, botanika, zoologia, medycyny, nauk społecznych - ekonomia, socjologia. Wówczas doceniony zostałby dorobek wszystkich dziedzin kształtujących ten świat, a nie jedynie kilku najbardziej widocznych istniejących w społecznej świadomości. Wówczas byłoby to dużo uczciwsze i nie wprowadzałoby sztucznej nierówności między pewnymi dyscyplinami - na przykład biologicznymi. Główne prądy sobie być mogą, trendy też, nie mogą być one jednak w żaden sposób faworyzowane i stawiane na piedestale jako lepsze od wszystkiego innego.
Nobel wprowadza sztuczną kategoryzację jakości dyscyplin. To tak jakby powiedzieć: jak wybierzesz tą dyscyplinę będziesz cuda niewidy robić, będziesz sławny! Dlatego należy go znieść!

Ed dnia Pon 19:07, 08 Sty 2007, w całości zmieniany 1 raz



Temat: losowanie


| | (A tak w ogole to czy wiemy ile jest pieniedzy w pierwszej
wylosowanej
| | kopercie?
| tak
| Dla mnie nie ma znaczenia czy wiemy czy nie wiemy. Liczy sie tak samo.
W praktyce przy wyborze strategii to oczywiscie ma znaczenie.


Ja niestety nie widze roznicy w praktyce :-)


 Jesli nie wiadomo ile pieniedzy jest w pierwszej wybranej kopercie,
to _nie_ mozna sobie po prostu przyjmowac, ze p = 1/2.


Ja nie bardzo rozumien dlaczego Ty chcesz inaczej rozkladac te
prawdopodobienstwa.
Majac dwie koperty i nie wiedzac w ktorej jest wiecej a w ktorej mniej
potrafisz wskazac sposob losowania by te prawdopodobienstwa byly inne? Dla
mnie to bylo oczywiste ze one sa rowne 1/2. Dlatego nie podalem tego w
pierwotnej wersji zadania (moj blad). Swoja droga jabys mial ten sposob
losowania by zwiekszyc szanse trafinie wiekszej kwoty to sie podziel :-)


Ale to jednak nie koniec paradoksu! (Paradoks jak jutro nigdy nie
umiera.) Otoz mozna podac przyklad takiego rozkladu, dla ktorego dla
kazdego k (jakie w ogole da sie wylosowac) zachodzi nierownosc p(k) <
2/3 (konkretnie: p(k) = 3/5). Oto ten sprytny rozklad: 2^k (2 do
potegi k) zlotych wypada z prawdop. 1/3 * (2/3)^k. Dla takiego
rozkladu _zawsze_ oplaca nam sie zmienic koperte!!! Zaraz, przeciez to
niedorzeczne?! Tak, cala sztuczka polega na tym, ze rozklad ma
_nieskonczona_ wartosc oczekiwana wygranej! Po pierwsze trudno o taki
rozklad w rzeczywistosci (?), po drugie jesli pojawiaja sie
nieskonczonosci, paradoksy przestaja byc paradoksalne, przeciez trylion
razy nieskonczonosc = nieskonczonosc.

Ogolnie, aby dla kazdego k, p(k) < 2/3, rozklad _musi_ miec
nieskonczona wartosc oczekiwana...


To faktycznie byloby ciezko zrealizowac.
W kazdym badz razie wnioskuje, ze przychylasz sie do mojej opini, ze w tym
moim bardzo prostym doswiadczeniu rachunek prawdopodobienstwa daje nam
absurdalne wyniki. :-)

Aha. Mam nadzieje ze sie nie gniewasz, ze konsekwentnie wycinam i nie biore
pod uwage wszystkich Twoich  wzmianek o psychologi. Z psychologi jestem
kiepski i nie o nia mi chodzilo.

Pozdrawiam
            Adam

Prawdziwa matematyka zaczyna sie gdy zaczynasz realnie rozpatrywac
nieskonczonosci :)





Temat: wszystko z wyjątkiem czegoś


To też błędnie, bo w nierówności niewiadomą jest LICZBA, a nie ZBIÓR
LICZB (o ile mówimy o tym samym rodzaju nierówności - czego wcale nie
jestem pewien, bo nie dałeś żadnego przykładu, do którego to zdanie
miałoby się odnosić).


Myślę, że pomyliłeś równanie z nierównością. W nierówności rozwiązaniem może
być zbiór liczb lub liczba.

Przykład równania:
3x^2-4x+1=0, współczynniki dobrałem tak, by rozwiązanie znajdowało się w
dziedzinie liczb rzeczywistych.

Przykład nierówności:
[1/(abs(x-2))]0, abs - wartość bezwzględna

Przykłady nierówności, dla których rozwiązaniem jest liczba:
x<1,
2<x<=3.
Zakładam, że x należy do zbioru liczb naturalnych.


Ad rem: moim zdaniem w domyśle było:
   "zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem 2"   =   R{2}


Tu się zgadzam. Ale zbiór liczb rzeczywistych, to wszystkie liczby
rzeczywiste. Nie użyłeś słowa 'wszystkie' - bardzo dobrze. :)


I potem:
   "nierówność jest spełniona przez wszystkie liczby Z TEGO zbioru".


Dokładnie.


Podobnie jest przecież, gdy mówisz o zbiorze bez wyjątków,
za to zawartym w większej dziedzinie. Przykłady:

   wszystkie liczby parzyste?
oczywiście nie mogą być, żadną miarą - wszak istnieją też liczby
nieparzyste, więc parzyste to na pewno nie są "wszystkie";


Chodzi Ci o '(wszystkie liczby) parzyste'. Mówiąc 'wszystkie liczby
parzyste', w matematyce nie ma dylematu, które to liczby.
'Liczby parzyste' i 'wszystkie liczby parzyste'. W pierwszym przypadku jest
nieokreślona ilość. W drugim wszystko jest jasne.


   wszystkie liczby całkowite?
no jak to "wszystkie", przecież są i ułamki;


Wszystkie liczby cłkowite = zbiór liczb całkowitych.


   wszystkie liczby wymierne?
a gdzie niewymierne (w tym i przestępne)...?


Zbiór liczb wymiernych. Nie używaliśmy na matematyce pojęcia: liczby
przestępne. Zapewne masz na myśli liczby dzielące się bez reszty przez '4'.
Nie wiem tylko, czy '0' można zaliczyć do liczb przestępnych.


   wszystkie liczby rzeczywiste?
też nie, przeciez rzeczywiste to nie wszystkie liczby - poza
rzeczywistymi sa jeszcze liczby zespolone!


Zbiór liczb rzeczywistych = wszystkie liczby rzeczywiste. Liczby zespolone to
zespolenie liczb rzeczywistych i urojonych.


'Wszystkie' określa ilość liczb.


Dokładnie.


   usmażyć wszystkie jajka?
błąd, możemy usmażyć tylko te, które właśnie mamy w domu,
a to na pewno nie są "wszystkie";


A właśnie, że są. Wszystkie, które mamy w domu, należą do zbioru, którym jest
dom. Można to zdanie rozumieć też jako: usmażyć wszystkie jajka we
wszechświecie. Natomiast 'usmażyć wszystkie jajka' nie jest fałszywym
zdaniem, bo mogą to być wszystkie jajka z pierwszej szafki.


   skasować wszystkie pliki?
niemożliwe, co najwyżej te pliki, które masz w swoim
komputerze, ale przecież są i inne komputery...


Możliwe. Jak wyżej.


Nie, nie podchodzę do _tej grupy dyskusyjnej_ ZBYT emocjonalnie.
(To tak na marginesie, tylko aby dać właściwe rzeczy słowo.)


Rozumiem. Dziękuję za poprawkę. :)





Temat: Materytmika algomatyka
Opowiem o moszczeniu się w danym zakresie liczb.
Jest to zdrowa tendencja w algorytmach, a analogiczna
ma wciąż miejsce w matematyce. Przecież matematyka
to upychanie nieskończoności w skończony wywód.

***

Mój program sprawdzał czy liczby a b in N
są długościami przyprostokątnych trójkąta
o całkowitej długości przeciwprostokątnej.
Przy tym dana była stała "upper bound" -- ub,
taka, że rozpatrywane wartości a b spełniały
nierówność a*b < ub. Program decydował, czy
 C := a^2 + b^2  jest pełnym kwadratem czyli
kwadratem pewnej liczby naturalnej c, a więc
spełniającej c^2 = C. Gdy  a  jest małe, to  b
jest relatywnie blisko ub, bo b może nawet by
równe  ub/a. Oznacza to, że  C  jest rzędu ub^2.
Dlatego uważałem na "overflow" (na nieprzekraczanie
zasięgu liczb całkowitych dopuszczalnych
przez oprogramowanie w moim systemie komputerowym):
pokazałem, że w pitagorejskich trójkach a < b < c,
gdy b jest duże, to liczba  a nigdy nie jest zbyt
mała, więc  b  jest sporo razy mniejsze od ub.
Dzięki temu nie obawiałem się wartości ub aż po
milion, a nawet mogłem rachować dla ub powyżej miliona,
podczas gdy naiwny program przy 32-bitowym zasięgu
narażony byłby na błędy (ponadto naiwne programy
nie są w stanie zakończyć rachunków poza trywialnymi :-)

Przypomnę, że kolejne przybliżenia sqrt(C), gdzie
C = a^2 + b^2, znajdowałem znaną metodą przejścia
iteracyjnego od aproksymacji c do  (c + C/c)/2.
Z tym, że czyniłem to w kontekście całkowitym, co
ma pewną świeżość (zamiast nieskończonego algorytmu
wystąpiła skończona wersja).

DYGRESJA  Na ogół unikam liczb rzeczywistych
w kontekście dyskretnym, na przykład całkowitym.
Jeżeli używam ich, to sprawdzam wyniki i ewentualnie
modyfikuję wynik; powiedzmy v = floor(...)
zastępuję przez v+1 lub v-1, gdy v nie działa
(z powodu błędów rachowania na liczbach rzeczywistych).
Z drugiej strony, użycie analizy matematycznej
i liczb rzeczywistych może być czasem super wydajne,
wręcz genialne.

***

Obecnie zmodyfikowałem sprawdzanie kwadratowości
sumy a^2 + b^2 tak, że w pewnym sensie sprawę
zakresu liczb rozwiązałem kompletnie, jeżeli
całkiem naturalnie zakładać, że samo ub należy
do niego. Moje obliczenia tym razem nie wychodzą
poza ub (mimo, że a^2+b^2 może być rzędu ub^2 --
no prawie, czyli może być znaczn ie większe od ub).
Sprawdzenie tego, czy  a^2 + b^2 jest pełnym kwadratem
będzie korzystało jedynie z liczb < a^2, gdzie
zakładamy, że  0 < a < b -- zachodzi:

    a^2  <  a*b  <  ub

(Ba, poszedłem jeszcze dalej, ale to ewentualnie
przekażę w następnym poście).

Niech  a^2 + b^2 = c^2,  gdzie  c  być może
nie jest liczbą naturalną (oczywiście w programie
to c nie występuje, a tylko tutaj w rozważaniach).
Niech  dlt := c - b  (znowu liczba rzeczywista dlt
nie musi być natuaralna, choć musi być dodatnia).
Wtedy  c^2 = (b + dlt)^2, skąd:

    a^2 = c^2 - b^2 = dlt*(2*b + dlt)

(*)    dlt = a^2 / (2*b + dlt)

Stąd natychmiast wynika, że  dlt < a/2.

Przejdźmy teraz do arytmetyki całkowitej.
Za pierwsze przybliżenie dlt przyjmijmy
po prostu  d_0=1  (Czasem naprawdę  dlt = 1).
Iterujemy zgodnie z (*):

(**)    d_(n+1) := floor(a^2/(2*b + d_n))

(W przypadku analizy matematycznej nie wystąpiłaby
część całkowita "floor").

Gdy d_n dlt, to oczywiście  d_(n+1) < dlt (tak by
było nawet bez "floor").

Gdyby nie "floor", to także z d_n dlt wynikałoby, że
d_(n+1) dlt.

W każdym razie szybko dochodzi do równości  d_(n+2) = d_n
(tak, "+2", a nie "+1"!).  Dla takiego  d_n  sprawdzamy,
czy:

    a^2 = d_n * (2*b + d_n)

Gdy równośc zachodzi, to:

  a^2 + b^2 = d_n*(2*b + d_n) + b^2 = (b + d_n)^2

czyli a^2 + b^2 jest pełnym kwadratem; a jak nie, to nie.

***

Widzieliśmy, że rachunki nie wychodziły poza  a^2, a więc
mieściły się w zakresie < ub. Program liczy mniej więcej
tak samo szybko jak przedtem, ale stosuje się do znacznie
większego zakresu liczbowego.

***

Pozdrawiam,

    Włodek

PS. Program liczył bez lęku (:-) dla a*b < ub := 16*10^6.
Pól pitagorejskich o krotności co najmniej 3 jest w tym
zakresie 171, w tym poczwórnych jest cztery, a popiątnych
i wyżej-krotnych nie ma. Program lecial 3132 sekundy czyli
52m + 12s (prawie godzinę; wolniej niż kwadratowo, hm).

A propos, dla ub=31*10^5, pól o krotności co najmniej 3
jest 69, a nie 71, chyba że doliczyć dwa króliki.





Temat: 2^k=3^n+1 ==> (k n) = (0 1) lub (2 1)
Marcin Kowalczyk:


| W kontekscie zlozonosci (1 + *) Jarek
| przypuszczal, ze istnieja wielkie liczby
| naturalne  k  i  n  takie, ze  2^k = 3^n + 1.

Zawsze byłem ciekaw, jak bardzo zbliżają się do siebie potęgi dwójki
i trójki. Na przykład czy istnieje taka liczba d, że dla nieskończenie
wielu potęg dwójki istnieje potęga trójki leżąca od niej nie dalej niż
d? Jeśli tak, to jaka jest najmniejsze takie d?  Bo na oko strzelałbym,
że nie istnieje.

--
 __  Marcin Kowalczyk


Pytania takie i znacznie ogolniejsze i trudniejsze
stawia, bada i rozwiazuje sie w obszernej dziedzinie
teorii liczb, obejmujacej teorie liczb transcendentalnych,
aproksymacje diofantyczne i teorie rownan diofantycznych.
Maja one znaczenie z kolei dla dalszych dzialow teorii
liczb jak algebraiczna teoria liczb i funkcje eliptyczne.

Powyzsze pytanie tlumaczy sie na wartosci kombinacji liniowych
tylko dwoch logarytmow, log(2) i log(3).  Wypadek dwoch
logarytmow liczb algerbraicznych byl rozpatrywany juz przez
wielkiego teorioliczbowca z przeszlosci (dla mnie z niedawnej
przeszlosci) Gelfonda -- prosze nie mylic go z innym wielkim
matematykiem  I.M. Gelfandem.  Nie znam detali pracy Gelfonda,
wiec na wszelki wypadek powolam sie na Alana Bakera, wyjatkowo
silnego matematyka, ktory dokonal rewolucji w Teorii Liczb
bez wprowadzenia pojec i technik, ktore by byly tak nowe,
jak tego zwykle spodziewamy sie po tak ogromnych osiagnieciach.
Jak uwaza Peter Weinberger, Baker prawdopodobnie byl po prostu
o wiele silniejszym matematykiem od wszystkich pozostalych
wielkich gwiazd teorii liczb z okresu, kiedy uzyskal swoje
wyniki.

W kazdym razie, jako malutki wniosek z prac Bakera,
otrzymujemy nierownosc:

(i)   |n*log(2) - k*log(3)| 1/(max(2 |n| |k|))^C,

dla calkowitych n k, nie rownych jednosczesnie 0,
gdzie Baker konkretnie podal wartosc  C (w o wiele ogolniejszym
przypadku).

Popatrzmy teraz na nierownosc:

<*   |2^n - 3^k| < D    D - stala.

Oznacza ona, ze dla  E = E(k n) := |2^n - 3^k|  mamy  E < D
oraz:

    3^k = 2^n + E    lub   2^n = 3^ + E

Zajme sie tylko pierwszym przypadkiem  3^k 2^n
(drugi jest podobny):

    k*log(3) = n*log(2) + log(1 + E/2^n) < n*log(2) + E/2^n

Tak wiec ( w tym wypadku):

(ii)    |k*log(3) - n*log(2)|  <  D/2^n

Z nierownosci  (i) (ii)  dostajemy:

Ale jaka STALA  C  by nie byla, nierownosc:

(iii)    1/(max(2 |n| |k|))^C  <  D/2^n

Gdy  n  jest wielka liczba naturalna, to  k  jest
z grubsza rowne  n*log(2)/log(3).  Zatem naprawde
juz latwo jest pokazac, ze nierownosc  (iii) ma
skonczenie wiele rozwiazan, i podac konkretne
ograniczenie z gory na  n  oraz  k. Ale te rozwiazania
i rozwiazania gdy  2^n 3^k, o podobnym zakresie,
zawieraja/ wszystkie rozwiazania wyjsciowej
nierownosci  <*.  jest ich wiec skonczona liczba,
przy czym mozna podac konkretne ograniczenie
z gory.

Pozdrawiam,

    Wlodek





Temat: ciag ograniczony


Nie bardzo. Niepotrzebne sa wartosci bezwzgledne.

| W bardziej zlozonym wzorze na an czesto korzysta sie z dowodu niewprost.
| Mozna go tez zastosowac w Twoim przykladzie, choc akurat ten jest
| najprostszy. Raczej chodzi o strone formalna, bo intuicyjnie przyklad jest
| oczywisty.

| Przypuscmy, ze nie ma takiego M1, ze 1/n<M. Wtedy konsekwncja jest inna
| nierownosc, n<1/M dla wszystkich n z N. Jest to oczywiscie nieprawda,

Rzeczywiscie nieprawda, choc w nieco innym sensie niz zamierzyles.
Zamieszales z kwantyfikatorami. Formalnie dowod nie wprost powinien
wygladac tak:
Zalozmy, ze ``zadne M 0 nie jest ograniczeniem ciagu a_n = 1/n'',
czyli dla kazdego M 0 istnieje n takie, ze 1/n M. Wezmy wiec
M = 1. Z przyjetego zalozenia wynika istnienie liczby n_1 takiej, ze
1/n_1 M, czyli 1/n_1 1. Ale jest to rownowazne temu, ze n_1 < 1.
Otrzymalismy sprzecznosc, poniewaz n_1 musi byc liczba naturalna
dodatnia, a wiec musi zachodzic n_1 = 1.

| bowiem zbior liczb naturalnych jest nieograniczony z gory.

Nieograniczonosc zbioru N z gory akurat w niczym tu nie pomaga.

| Ograniczenie moze byc z dolu lub z gory. Definicja ciagu ograniczonego np.
| z gory jest taka.
| Istnieje liczba M taka, ze dla wszystkich n z N |an|<M
| i odpowiednio z dolu
| Istnieje liczba m taka, ze dla wszystkich n z N |an|m.

Nie bardzo. Niepotrzebne sa wartosci bezwzgledne.

| W bardziej zlozonym wzorze na an czesto korzysta sie z dowodu niewprost.
| Mozna go tez zastosowac w Twoim przykladzie, choc akurat ten jest
| najprostszy. Raczej chodzi o strone formalna, bo intuicyjnie przyklad jest
| oczywisty.

| Przypuscmy, ze nie ma takiego M1, ze 1/n<M. Wtedy konsekwncja jest inna
| nierownosc, n<1/M dla wszystkich n z N. Jest to oczywiscie nieprawda,

Rzeczywiscie nieprawda, choc w nieco innym sensie niz zamierzyles.
Zamieszales z kwantyfikatorami. Formalnie dowod nie wprost powinien
wygladac tak:
Zalozmy, ze ``zadne M 0 nie jest ograniczeniem ciagu a_n = 1/n'',
czyli dla kazdego M 0 istnieje n takie, ze 1/n M. Wezmy wiec
M = 1. Z przyjetego zalozenia wynika istnienie liczby n_1 takiej, ze
1/n_1 M, czyli 1/n_1 1. Ale jest to rownowazne temu, ze n_1 < 1.
Otrzymalismy sprzecznosc, poniewaz n_1 musi byc liczba naturalna
dodatnia, a wiec musi zachodzic n_1 = 1.

| bowiem zbior liczb naturalnych jest nieograniczony z gory.

Nieograniczonosc zbioru N z gory akurat w niczym tu nie pomaga.


Wlasnie to czulem jako 24h wyrzut sumienia. Oczywiscie ze niepotrzebne moduly.
To przeciez byloby zdejmowalo prawie polowe sensu tego pojecia. Z
nierownosciami sa rozne szkoly. Powinienem raczej uzupelnic zdanie mowiac, ze
przypuscmy iz nie ma takiego M1 (tzn. ze moze nim byc cokolwiek <=1 i 0),
czyli dodatni ulamek. Dlaczego 0? Bo to wynika ze znaku 1/n. I wtedy
nadziewamy sie na rzekome ograniczenie z gory przez jakas tam dostatecznie duza
liczbe.

W kazdym razie dziekuje Ci Krzysztofie za czujnosc. Ja tez mialem niepokoj, ze
cos w pospiechu przeoczylem. Poczta wyslana nieaml zawsze jest inna od tej,
ktora zamierzales wysalc. To widac dopiero pozniej. A liczy sie tutaj akurat
rzetelnosc, bo to jest matematyka.

WK





Temat: Cały Naród buduje Świątynię

Zauważ, że obecnie w rozwiniętych krajach najwięcej się zarabia nie na produkcji konkretnych dóbr niezbędnych do życia - np. żywności, domów czy paliwa, jak było u ludzi przez tysiąclecia. Nawet jakby ktoś na swój użytek chciał łowić ryby, polować, albo zbierać chrust w lesie to bez specjalnej koncesji pójdzie do więzienia.
Za to największa kasa idzie na prawników, maklerów giełdowych, banki, reklamę itp. gdzie "produkcj" polega na "spekulacji" i bezpośrednio chleba z tego nie ma. A powoduje to ogromne nierówności w dystrybucji dóbr. I to wg mnie powinno się instytucjonalnie wyrównywać (bo instytucja ma dużo większą siłę przebicia o czym dobrze wiedzą np. prawnicy zrzeszający się w wielkie korporacje).


Andrzeju to co napisales, tzn. "instytucjonalne wyrownanie" poziomu zycia w ramach sprawiedliwej dystrybucji dobr nazywa sie MARKSIZMEM a nie socjalizmem. Marksizm w postaci socjalizmu marksistowskiego oraz bolszewizmu ludzie juz przerabiali i te pomysly nie wyszly. Przyklad: PRL i Zwiazek Sowiecki. Jak sie konczy instytucjonalene wyrownywanie poziomu zycia i redystrybucja daleko nie trzeba szukac wystarczy spojrzec na Polske. Mozesz tez pojechac na wycieczke do Kambodzy i podziwiac dzialalnosc towarzysza Pol Pota. Rozumiem twoje poglady bo sa typowymi dla generacji mojego ojca mimo ze ty jestes od niego znacznie mlodszy. On czasami wyskakuje z podobnymi tekstami.

Ty zakladasz, bo tak tez uczyli w komunie, ze bogaty jest bogatym dlatego, ze wykorzystuje lub jak wolisz wyzyskuje biednego i slabego. No OK. Powiedzmy ze ja jestem maklerem gieldowym i obracam akcjami, ktore kupuje i sprzedaje od ludzi bardzo zamorznych to kogo ja wyzyskuje generujac moje pokazne zarobki? Inny przyklad. Powiedzmy, ze obracam nieruchomosciami. Czyli kupuje dom po czym remontuje go i sprzedaje z zyskiem innej osobie i w ten sposob dorobilem sie sporgo majatku to co? Ograbilem kogos? Albo jeszcze inny przyklad. Zakladam kompanie, ona rosnie a wraz z nia rosnie ilosc pracownikow ktorych zatrudniam i im place za ich czas, wiedze i umiejetnosci. Oni zas pracuja dla mnie i zgodzili sie na stawke ktora im zaoferowalem. Czyli co? Tez ich wyzyskuje? OK to powiedzmy ze ide do klienta i mowie mu ze za moja usluge kasuje 100 dolarow na godzine i klient sie godzi na taka stawke to kto kogo ja wyzyskuje? Klient mnie czy ja klienta?

Nie mieszj w te wywody Iraku i wojny bo ja zaczne mieszac w to Awganistan i sie ciebie zapytam dlaczego pokojowy blok demokracji ludowej posiadal bron nuklearna i walczyl w Awganistanie, Mozambiku, Erytrei, Kongu, Wietnami, Koreii. No wlasnie moze mi wytlumaczysz na czym polegal ten pokoj demokracji ludowej?

Nie zapominaj tez Andrzeju ze TCP/IP powstalo w ramach systemu obronnego Stanow Zjednoczonych i to wlasnie ci wojowniczy Hamerykanie dali ci internet ktory wyszedl z Pentagonu. Zas Zwiazek Sowiecki dal ci....? Lajke

Mylisz pojecia Andrzeju. Mylisz socjalizm z Marksizmem i Leninizmem. Dwie rozne rzeczy. Pewne swiatlo na roznice miedzy tymi ideologiami rzuca swietna ksiazka Adama Ulama pod tytulem Bolszewicy. Prof. Adam Ulam byl bratem Stanislawa Ulama polskiego matematyka i fizyka pochodzenia zydowskiego, ktory byl tworca bomby wodorowej.



Temat: pytanie w zasadzie formalne


    Hej,
Tak sobie siedze na tej matematyce i kombinuje. Zdarzaja sie na nich
czasem
sytuacje sporne (z nasza nauczycielka) i zastanawiam sie jak to jest
naprawde.


Ja tez. Ostatnio moja nauczycielka powiedziala, ze funkcja 1 -
pierw_3_stopnia(x-4)^2 nie ma extremum... no coz. Wg. mnie ma dla x = 4...
'w fazie projektow' jest jednak moj dowod ze mam racje... w kazdym razie
pochodna w tym punkcie nie istnieje. Ale przeciez pochodna moze nie istniec
w danym punkcie, a extremum moze byc (przyklad: |x| - w zerze nie ma
pochodnej, ale jest minimum).


Chodzi mi dokladnie o takie cos: mamy np. operacje logiczne. Ale
czy maja one sens jezeli zdania nie maja sensu? A moze zdanie ln(-10)=a ma
sens podobnie jak i^2=-1 tez ma.


Tez sie nad tym zastanawialem... otoz jest takie fajne zadanko (sorry ze
odbiegam od tematu, ale mysle ze Ci sie to przyda):
Implikacja log(2) 8 = m =sin (3pi/4) = 1/2
jest prawdziwa dla:
m = 3
m (- (-oo, 3)
m (- (3, oo)

Odpowiedzi sa nastepujace: -, +, +... dlaczego? To proste... Wystarczy
przypomniec sobie cos takiego:
p q p=q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Jak widac - z falszu moze wynikac zarowno prawda jak i glupota. To dlatego
wlasnie odpowiedzi w tym zadanku sa -, +, + :-).

 Ale mowilem o konfliktach. Dokladnie byly 2


sytuacje. Pierwsza - taka nierownosc (okrojona...):

a+aq+aq^2+...costam

No wiec pierwsza rzecz, od ktorej rozkazala nam zaczac pani bylo zalozenie
|q|<1. W tym momencie padlo pytanie - ale co jezeli ta suma bedzie dazyc
do
+nieskonczonosci (btw macie na to jakis znaczek, jestem nowy ;-)? Wtedy
nierownosc bedzie spelniona. A pani na to - nie, bo wtedy lewa strona w
ogole nie ma sensu.


W sumie to nierozumiem. Wg. mnie ma jak najbardziej sens i jest wtedy
spelniona... ale pewnosci nie mam.


OK, niech bedzie takie wyjasnienie. Ale jakis czas (z
rok ;-) pozniej inne zadanie:

x1 =lg(y) (x)0
(znowu nie wiem jak pisac indeksy...)


Tak jak piszesz - tzn. y jest podstawa, x liczba logarytmowana, to chyba
miales na mysli prawda?


Oczywiscie znalezc kiedy to jest prawdziwe. Oczywiscie (min.) kiedy lewa
strona jest falszywa. No wiec pani ladnie zamalowala cala polplaszczyzne
x<=1. Kolejny protest z naszej strony - ale co jezeli prawa strona nie ma
sensu? No to wtedy pani mowi, ze to niewazne...


Owszem - niewazne... wtedy zdanie p masz falszywe... z falszu moze wynikac
cokolwiek, zarowno prawda jak i falsz.


Leze zabity. Wcale nie twierdze, ze pani sie myli - moze ja po prostu
czegos
nie rozumiem. Dlatego bardzo bym prosil o lopatologiczne wyjasnienia
dlaczego jest tak a nie inaczej. Domyslam sie, ze to wszystko pochowane
jest
w definicjach, ale wiadomo, ze lepiej wyjasnia to zywy czlowiek.


Aha... moglem sie gdzies w tych wszystkich wyjasnieniach pomylic, wiec
prosze o uwazne przeczytanie i ewentualna krytyke.


A z innych akcji naszej pani (mozecie to potraktowac jako zadanko do
zrobienia):

9^lg(1/2) (x+1) = 5^lg(1/2) (2x^2+1)

No i co robi nasz kochana pani? Stwierdza, ze 9^x=5^x tylko gdy x=0 i
dlatego lg(1/2) (x+1) = lg(1/2) (2x^2+1).
Moze znowu sie myle, ale chyba to nie jest poprawne rozwiazanie zadania.


Wg. mnie poprawnie. Jedynym punktem przeciecia dwoch funkcji wykladniczych
jest punkt (0, 1).

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat





Temat: konstruowalnosc w analogii do obliczalnosci - troche dlugie
Wiadomo ze wprowadzenie pojecia obliczalnosci i prace zwiazane z jego scislym
zdefiniowaniem i analiza mialy dla matematyki niebanalne konsekwencje. W
szczegolnosci okreslenie co to znaczy obliczac i jaka klasa funkcji jest
obliczalna w sensie ze mozemy poznac wszystkie ich artosci w skonczonej
liczbie krokow okreslonej procedury obliczeniowej zaowocowaly miedzy innymi
okresleneim obszaru w ktorym nie ma obliczalnosci.
Punktem wyjscia jest konstrukcja liczb naturalnych dzieki operacji nastepnika,
+, - wykonywanych na obiekcie podstawowym 0.
Chcialbym zapytac czy istnieja teoprie czy dzialy matematyki ktore podobne
badania proewadza w bardziej geometrycznym zakresie.

I tu maly wstep. W wyzej nadmienionym kontekscie arytmetyka rekurencyjna
operuje na liczbach za pomocao kreslonych operacji wykonywalnych w skonczonej
liczbie krokow. Teoria geometryczna operuje na klasach obiektow (
przestrzenie, rozmaitosci, bryly) za pomoca jasno zdefiniowanych klas
pzreksztalcen ( morfizmow). Aby uprawiac jakas teorie na ogol nalezy w miare
scisle zdefinowac obiekty w niej rozwazane ;-) Definicje owych obiektow
powinny byc na tyle ograniczajace zeby nie badac wszytskiego wszystkim bo to
zwykle jest zbyt trudne, ale zarazem aby po okresleniu klasy obiektow ktore
nas interesuja ich zbior byl dostatecznei bogaty i mial nietrywialne
wlasnosci. Zwykle obiekty definiuje sie podajac jakies rownania, oraz klasy
przeksztalcen ktore pozwalaja obiekty przeksztalcone owymi przeksztalceniami
uwazac obiekty za rownowazne ( czyli obiekty "bazowe" + ich izomorfizmy).
Fizycy lubia ten sposob i na poziomie fizyki jest to czesto po prostuustalenie
"symetrii problemu" czyli okreslenie ogollnej klasy obiektow z utozsamieniem
tych ktore daja sie na siebie przeksztalcic okreslona grupa pzreksztalcen. Na
przyklad wszystkie walce o tym samym promieniu i wysokosci sa rownowazne, choc
przeciez ich nalozenie na siebie czasem wymaga translacji i obrotu
(zakladajac ze potrafimy odroznic walec obrocony od nieobroconego, zmienia sie
liczba potrzebnych obrotow). Wiadomo ze walec mzona zdefiniowac na wiele
sposobow: a to jako iloczyn S^1 x I ( I-odcinek jednostkowy), a to jako bryle
spelniajaca jakies rownania / nierownosci, a to jako bryle powstala w wyniku
"translacji kola" itp. Te definicje sa rownowazne ( mam taka nadzieje) i tu
zaczyna sie moj problem...

Czy istnieja jakies badania pozwalajace na rozwazanie ponizszych kwestii?
Mamy klase obiektow A ( powiedzmy klase rozmaitosci jakiejs klasy
rozniczkowalnosci) i staramy sie dociec jakie obiekty w takiej ogolnej klasie
sa mozliwe do _zdefiniowania_ ( jakby robimy segmentacje owej ogolnej klay) za
pomocapewnej klasy przeksztalcen: powiedzmy symetrii. Chodzi o zbudoanie
analogicznie do pojecia obliczalnosci jakiegos pojecia geometryzowalnosci
czyli mozliwosci "skonstruowania" powiedzmy za pomoca obiektow podstawowych (
odpowiednik liczby 0, jakas "baza" rozwazanej klasy A ) i operacji symetrii
jakiejs podklasy obiektow geometrycznych zawartych w A. Jakie ograniczenia ida
za takim podejsceim do definiowania? czy istneija w klasie A obiekty
niemozliwe do zdefiniowania w taki sposob ( np. za pomoca przeksztalcen
rozniczkowalnych dop 3-go rzedu nie da sie ( wychodzac z jakiejs "bazy" klasy
obiektow geometrycznych A) zdefiniowac pewnych obiektow klasy A ktore same w
sobei stanowai jakis tam zbior czy podlkase klasy A. Slowem nie tyle chodzi mi
o okreslenie jakie obiekty i operacje definiuja powiedzmy wszystkie obiekty
geometrii euklidesa ( choc to tez ciekawe) ale o to czy istnieja klasy
obiektow geometrycznych np. niedefiniowalnych np. za pomoca operacji
zwiazanych z zreksztalceniami ktore tworza grupe jesli punktenm wyjscia jest
np. rozmaitosc gladka i o uogolnienie tego podejscia na zagadnienei
definiowalnosci w sposob geometryczny ( w analogii do obliczalnosci, brak tu
slowa: konstruowalnosc? bylaby chyba najlepsza.) wogole.

Fizycy bardzo mocno uzywaja przeksztalcen symetrii a moje pytanie w istocie
dotyczy zagadnienia czy owe operacje wkladane rekami do modelu fizycznego moga
byc wyprowadzone z bardziej fundamnetalnych ( nie wiadomo na razie  jakich)
zasad. Co tracimy stosujac jako pojecia podstawowe operacje symetrii?  

Pozdrawiam
Kazek Kurz
PS. jestem amatorem ;-), wiec prosze o pominiecie oczywistych lapsusow i probe
zrozumienia o jakie zagadnienia chodzi...





Temat: Eksponencjalny zart


Czy calka nieoznaczona funkcji

    f(x)  :=  x^(1/log(x))

(zdefiniowanej dla x 0)  wyraza sie
przez funkcje elementarne?

Powodzenia w rozwiazywaniu,

    Wlodek


Dziekuje uczestnikom tego watku
za wziecie udzialu w zabawie.
Mialem na mysli raczej logarytm
naturalny. Zdawalem sobie tez sprawe,
ze podstawa logarytmu nie ma tu
wiekszego znaczenia, wiec wolalem
nie wyjasniac czyli nie nudzic. Wszyscy
oczywiscie bez klopotu zadanie rozwiazali,
zreszta az za latwe. Powinienem byl dodac
jakas historyjke, ktora by sprowadzala
czytelnikow na manowce :-)

Przy okazji Bartek ostro zauwazyl, ze
formula  x^(1/log(x))  nie okresla
funkcji dla  x=1. Jezeli, co bywa
praktykowane, mimo to przyjac, ze
chodzi o funkcje dana przez formule
poza  x=1, ktora dla  x=1  jest
zdefiniowana tak by byc ciagla, to
obaj pozostali uczesnicy podali
poprawne funkcje pierwotne i innych
nie ma. Jezeli jednak uznac, ze funkcja
nie jest zdefiniowana dla  x=1, to
mamy wiecej funkcji pierwotnych, bowiem
(dla logarytmu naturalnego) dostajemy
 rodzine DWU-parametrowa:

    f(x) :=  e*x + C  dla  0 < x < 1

oraz

    f(x) :=  e*x + D  dla  x 1

(gdzie stale  C D  moga byc nierowne).
Chociaz ogolnie jest to bardzo wazny
moment (wspomnijcie funkcje pierwotna
funkcji y = 1/x  dla  x =/= 0), to
mnie o tak powazne sprawy tu nie chodzilo.
Wystarczylo zauwazyc, ze

    x^(1/log(x)) = e        (dla  0 < x =/= 1).

Mimo latwosci pytania, to z wygladu
bylo ono podobne do trudnych przypadkow,
takich jak na przyklad

        f(x)  :=  exp(x) / x
lub
        f(x)  :=  sin(x) / x

kiedy to funkcja pierwotna nie jest
elementarna. Moj przypadek wygladal
nawet grozniej :-)

*********

Zarcik przyszedl mi do glowy przy
okazji watku "abc i exp",  gdzie
korzystalem z sasiednich zjawisk--
chodzi o to, ze dla  t 0  (takze dla t < -1):

    1/(t+1)  <  log(1 + 1/t)  <  1/t

skad

    (1 + 1/t)^(t+1)  

        (1 + 1/t)^(1 / log(1 + 1/t))  

            (1 + 1/t)^t

Innymi slowy

    (1 + 1/t)^(t+1)   e   (1 + 1/t)^t

dla  t in (-oo;-1) cup (0;oo).

Podobne nierownosci przerabia sie
we wstepie do analizy matematycznej
(mam do nich dozgonny sentyment :-)

Pozdrawiam,

    Wlodek





Temat: nowa teoria - do kogo...?
A czym według Ciebie jest zdrowy rozsądek ?

Ten tzw. zdrowy rozsądek jest ukształtowany naszym codziennym doświadczeniem, ale nie ma podstaw uważać, że doświadczenia jakich nabieramy idąc do sklepu po zakupy, będą miały odniesienie do mechaniki kwantowej czy OTW.

W fizyce ani w matematyce zdrowy rozsądek nie odgrywa zupełnie żadnej roli, gdyż zdrowy rozsądek nie jest w stanie ogarnąć praw mechaniki kwantowej (dotyczących zjawisk o skalach tak małych, że nieosiągalnych nawet dla naszej wyobraźni) ani zjawisk OTW ujawniających się w przypadkach ogromnych (w porównaniu z naszym życiem) przedziałów czasowych, lub wielkich (w porównaniu z naszym otoczeniem) pól grawitacyjnych, czy wreszcie olbrzymich (w porównaniu z tym, z czym na co dzień mamy do czynienia) prędkości.

Stosowanie zdrowego rozsądku prowadzi do tzw. paradoksów w fizyce, które nie wynikają z niespójności naszego systemu fizycznego, ale właśnie z przykładania do fizyki zdroworozsądkowej miary.

Niejedno fizyczne doświadczenie kłóciło się ze zdrowym rozsądkiem, i zawsze ostatecznie okazywało się, że zdrowy rozsądek przegrywa taką konfrontację. A chociażby nierówność Bella, czy paradoks Kota Schrodingera, które są sztandarowymi wręcz przykładami porażki zdrowego rozsądku w konfrontacji z mechaniką kwantową.


Zapomniałeś doczytać (tam jest link):
"Thus, the distance between the spaceships has increased by the relativistic factor gamma"


Tak, względem nieruchomego układu odniesienia, jakim jest kontrola lotu, foton musi pokonać dłuższą drogę, ale bynajmniej nie dlatego, że odległość pomiędzy rakietami wzrosła.

Stanie się tak dlatego, że prędkość światła jest stała, a foton wyemitowany z rakiety A będzie miał nie tylko składową prostopadłą do kierunku ruchu, ale także równoległą (równą prędkości rakiet, w chwili jego emisji). Foton przebędzie dłuższą drogę, ale to nie oznacza, że odległość pomiędzy rakietami wzrosła.

Wzrostu odległości nie zauważą także astronauci podróżujący obiema rakietami. Aby zmierzyć odległość pomiędzy nimi muszą umówić się, że z rakiety A w dokładnie określonej chwili zostanie wysłany foton w stronę detektorów rakiety B, które zmierzą czas pomiędzy ustaloną z góry chwilą emisji fotonu, a chwilą jego zarejestrowania. Pozornie czas ten powinien ulec wydłużeniu (foton przebywa dłuższą drogę), a ponieważ odległość pomiędzy rakietami jest równa iloczynowi prędkości fotonu C i różnicy czasu pomiędzy chwilą jego wysłania a chwilą jego zarejestrowania, więc pomiar powinien wykazać, że odległość ta wzrosła. Ale nie zapominaj, że należy jeszcze uwzględnić dylatacyjne spowolnienie czasu, wynikające z ruchu rakiet.

Jeśli uwzględnimy spowolnienie upływu czasu, okaże się, prędkość fotonu, pomnożona przez czas jaki potrzebuje na pokonanie odległości pomiędzy rakietami (zmierzony zegarami umieszczonymi na pokładach tych rakiet) będzie zawsze wartością stałą, niezależnie czy rakiety spoczywają (względem kontroli lotu), czy poruszają się z przyświetlną prędkością.

Wnioski:

Kontrola lotów na ziemi zauważy, że czas jaki potrzebuje foton aby pokonać dystans dzielący rakiety wzrósł, ale wynika to nie ze wzrostu odległości pomiędzy nimi, lecz z faktu, że foton nie porusza się prostopadle do kierunku ruchu i musi pokonać większą odległość.

Z kolei astronauci podróżujący rakietami nie zauważą w ogóle żadnej zmiany. Foton z rakiety A zostanie wemitowany prostopadle do kierunku ruchu (składowa równoległa prędkości fotonu jest względem obu rakiet równa zeru) i dotrze do rakiety B w tym samym czasie, jaki potrzebował na pokonanie tej drogi, gdy rakiety stały jeszcze na stanowiskach startowych, gdyż zegary na pokładach rakiet chodzą wolniej (czego jednak astronauci nie są w stanie w żaden sposób dostrzec).

Cała tajemnica kryje się tutaj w tym, że prędkość światła jest taka sama w każdym układzie odniesienia i efekty dylatacji długości i czasu (a także masy) wynikają z tego, że te wielkości muszą ulec dokładnie takim zmianom, aby pomiar prędkość światła dał zawsze identyczny wynik, w każdym układzie odniesienia.



Temat: V aksjomat - to aksjomat czy twierdzenie
Witam,





| Bo sa. Dwa punkty na sferze okreslaja jedna linie prosta na
| sferze.

Jesli wg Ciebie na sferze, to sa linie proste, to napisz
rownanie tej
linii prostej. Chce zobaczyc to rownanie linii prostej w sensie
Lobaczewskiego, zapisane przez Ciebie osobiscie. Oprawie go
sobie w
ramki razem z nazwiskiem autora i bede go wszystkim pokazywal
jako
swietny wynalazek i jednoczesnie swietny dowcip matematyczny.
Zgadzasz
sie?


Prosze uprzejmie.
(Na marginesie: sfera nie jest najlepszym przykladem, bo jest
ograniczona. Ale po odrzuceniu niektorych elementow definicji
(np. o tym, ze prosta ma byc nieskonczona), mozna na sferze
swobodnie uprawiac geometrie. Nb. mozna na sferze (bez jednego
punktu) zadac taka geometrie, by i ten warunek byl spelniony.).
No wiec, niech dana bedzie sfera. Dla wygody zadajmy na niej
uklad wspolrzednych analogiczny do geograficznego, tzn. ze
wspolrzedna "pozioma" X z zakresu [-Pi,Pi) i "pionowa" Y z
zakresu [-Pi/2 , Pi/2]. Wszystkie pojecia w dalszym tekscie beda
pojeciami geometrii sferycznej.

Niech wiec dane beda dwa punkty. Poniewaz nie zaproponowales
zadnych konkretnych, przyjme takie, zeby sie dobrze liczylo:
a=(0,0), b=(1,0).
Prosta przechodzaca przez a i b ma rownanie Y=0.

Zapewne wielkim glosem zaprotestujesz przeciw nazywaniu kol
wielkich prostymi - bo "kazdy widzi" i "codzienne doswiaczenie",
czy zgola "logiczne myslenie" pokazuje, ze to okregi a nie
proste. No wiec, w matematyce obiekty sa takie, jakimi sie je
zdefiniuje, a nie jakimi chcielibysmy je widziec. Jesli jakies
obiekty spelniaja wszystkie warunki, jakie przewidzielismy dla
prostych (a w ramach geometrii sferycznej wielkie kola te
warunki - poza nieograniczonoscia - spelniaja), to SA prostymi. A
ze w geometrii sferycznej proste rownolegle nie istnieja -
trudno. Bez piatego aksjomatu i takie cuda sie zdarzaja.

Zobaczmy wiec, jak to tam wyglada.
Niech L bedzie plaszczyzna Lobaczewskiego. Dla wygody zbudujemy
model L na plaszczyznie euklidesowej, w postaci kola
jednostkowego bez brzegu, przy czym dla dowolnych punktow a i b
zdefiniujmy odleglosc d(a,b) jako:

d(a,b)=ln( |aB|/|aA| * |bA|/|bB| )
gdzie |.| oznacza odleglosc euklidesowa (na tej plaszczyznie, na
ktorej budujemy model), natomiast A i B to punkty, w ktorych
prosta (euklidesowa, z tej plaszczyzny, na ktorej budujemy model)
przechodzaca przez a i b przetnie kolo jednostkowe.

(Dowod, ze d(.,.) jest metryka, pozostawiam Czytelnikom jako
cwiczenie).

Lemat: Proste w przestrzeni L to dowolne cieciwy kola
jednostkowego.

Zarys dowodu: z nierownosci trojkata latwo sprawdzic, jak wyglada
odcinek przestrzeni L przeniesiony do modelu - tam rowniez
wychodzi odcinek. Nalezy jeszcze sprawdzic, czy cieciwa ma
nieograniczona dlugosc w przestrzeni L. No to sprawdzamy... i
wychodzi, ze ma. Pozostale wymagane wlasnosci prostej tez sa
spelnione - kto nie wierzy, niech sprawdzi.

Zadanie: dla pewnej pary punktow a i b podac wzor prostej X przez
nie przechodzacej. Nastepnie wziac jakis punkt c nie lezacy na
tej prostej i pokazac co najmniej dwie rozne proste Y i Z takie,
ze obie przechodza przez punkt c i obie sa rownolegle do X.

No to do roboty. Skoro chca od nas wzorow, musimy wprowadzic
jakis uklad wspolrzednych. Dla naszej wygody wezmy uklad taki, by
jego obraz w modelu byl identyczny z ukladem kartezjanskim na
plaszczyznie, przycietym do kola jednostkowego. Wezmy sobie:
a=(0 , 0),
b=(0 , 0.5).

Wzor prostej X (Lobaczewskiego!) przechodzacej przez a i b:
y=0.   (przypominam, ze pracujemy w ukladzie przycietym do kola -
w modelu ta prosta wyglada jak pozioma srednica kola
jednostkowego)

Wezmy punkt c nie nalezacy do X:
c=(0.5 , 0)

Wzor prostej Y przechodzacej przez c:
y=0.5 + 0.1 x

Wzor prostej Z przechodzacej przez c:
y=0.5 - 0.1 x

Twierdzenie: Proste Z i Y sa rownolegle do X.
Dowod:
Zgodnie z definicja Euklidesa, proste rownolegle to takie proste,
ktore nie maja wspolnego punktu. Wspolrzedna x dowolnego punktu
prostej Y i Z (jak rowniez calej przestrzeni L) nalezy do
przedzialu (-1,1), co wynika bezposrednio z metody nadania ukladu
wspolrzednych. A wiec pionowa wspolrzedna dowolnego punktu
prostej Y i Z nie moze byc mniejsza, niz 0.5 - 0.1 * 1 = 0.4.
Zaden punkt prostej X nie ma pionowej wspolrzednej wiekszej, niz
0, a wiec X i Y ani X i Z nie moga miec zadnego wspolnego punktu,
qed.

Jakbys mial pytania odnosnie dowolnego fragmentu, pisz. Jesli
ktorys fragment powinienem rozwinac - rozwine.

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski




Strona 1 z 2 • Wyszukano 56 wypowiedzi • 1, 2